整数の公式でフィボナッチ数列を求める

ちなみに、$\displaystyle \varphi = \frac >$ は「黄金比」と呼ばれているものですね。

問 ある100以上の整数nを決めフィボナッチ数列に当てはまるか判定せよ。

nと一致するか超えるまでフィボナッチ数を計算していって 一致したらフィボナッチ数である 超えたらフィボナッチ数でない と答えればよいです

第0項が0,第1項が1のフィボナッチ数列 x(n)=x(n-1)+x(n-2),x(0)=0,x(1)=1の解は x(n)=/√5 ただし、α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2 これをビネの公式といいます。

あわせて知りたい

はフィボナッチ数列とし、mは2以上の整数とする。 F[n]≡0,F[n-1]≡1 (mod 整数の公式でフィボナッチ数列を求める m)を満たす最小の正の整数をa[m] F[n]≡0 (mod m)を満たす最小の正の整数をb[m]とする。 このときa[m]/b[m]は1,2,4のどれかである。 これは成り立ちますか。成り立つなら証明してください。 成り立たないなら反例をあげてください。

フィボナッチ数列の問題について教えてください 一般項Ａｎについて ①Ａ2ｎはＡｎの倍数であることを示せ またＡｍｎ(ｍは2以上の整数)はＡｎの倍数であることを示せ ②ｎを4以外の3以上の自然数とするとき Ａｎが素数ならばｎは素数であることを示せ おねがいいたします

フィボナッチ数列の各項の平方根を取った項を並べた数列を考え、その初項からn項目までの和平均Sを求め、Sを限りなく円周率πに近づけていく時、nの値として相応しいのはいくつですか？

フィボナッチ数列の 5^n 番目の数は、5^n で割り切れますか ? 1, 1, 2, 3, 5, 8 ・・・ 証明もしくは反例をお願いします。

ゴールドバッハの予想って高校数学に出てきますか。

これは -√2+√3で答えると不正解になりますか？わざわざ向きを変える理由がわかりません。

(2)、(5)、(6)の答えと途中式を教えて下さい！ お願い致します。

A〜Ｃの3人は10時に待ち合わせをした。Aは自分の時計を5分遅れていると思っており、駅に着いた時点で5分遅刻したと思っていたが、駅にはまだだれも来ていなかった。Aの時計が10時1分を指した時、Bが到着した。Bは自 分の時計が3分進んでいると思っており、駅に着いた時点で10分の遅刻だと思っていた。ＣはAの時計が10時3分を指した時到着した。Ｃは自分の時計が1分遅れていると思っており、駅に着いた時点で15分の遅刻だと思っていた。しかし、Ｃが到着すると同時に10時発の電車が出発し、実は全員遅刻していなかったことがわかった。 この時確実にいえることは次のうちどれか。ただし、それぞれの時計の指している時刻は正解ではないが、時計の動き自体は故障はないものとする。 ①Aの実際の到着時刻は9時55分である。 ②Bの実際の到着時刻は9時57分である。 ③Bの時計は15分進んでいる。 ④Ｃの時計は13分進んでいる。 ⑤1番ズレの大きい時計はＣの時計である。 答えは③なんです。 よく分からくて助けていただきたいです

【応用】フィボナッチ数列の一般項

右辺を左辺に移行すれば\[ F_-(\alpha+\beta) F_ +\alpha\beta F_n=0 \]となります。同じように元の漸化式も変形すると\[ F_-F_-F_n=0 \]となります。これらのことから、 $\alpha,\beta$ は\[ x^2-x-1=0 \]の解になることがわかります。これはちょうど漸化式で $F_$ を $x^2$ に、 $F_$ を $x$ に、 $F_n$ を 整数の公式でフィボナッチ数列を求める $1$ に置き換えた式になっています。

これを解くと、\[ x=\frac <1\pm\sqrt<5>> \]となります。このプラスの方を $\alpha$ とし、マイナスの方を $\beta$ とすると、次の2つの式が成り立ちます。
\begin F_-\alpha F_ &=& 整数の公式でフィボナッチ数列を求める \beta(F_-\alpha F_n) \\[5pt] F_-\beta F_ &=& \alpha(F_-\beta F_n) \\[5pt] \end1つ目の式から、 $\$ は、公比が $\beta$ の等比数列であることがわかります。初項は \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \beta \endであることがわかります。よって、\[ F_-\alpha F_n=\beta^n \]となります。

また、2つ目の式から 整数の公式でフィボナッチ数列を求める $\-\beta F_n\>$ は公比が $\alpha$ の等比数列であることがわかります。初項は
\begin F_2-\beta F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \alpha \endなので、\[ F_-\beta F_n=\alpha^n \]となります。

2つを並べると
\begin F_-\alpha F_n &=& \beta^n \\[5pt] F_-\beta F_n &=& \alpha^n \endとなり、下の式から上の式を引けば \begin (\alpha-\beta)F_n &=& \alpha^n-\beta^n \\[5pt] \endとなります。ここで、\[ \alpha-\beta=\frac >-\frac >=\sqrt \]なので、 \begin F_n &=& \frac <\sqrt>\left\ <\left(\frac>\right)^n-\left(\frac >\right)^n\right\> \\[5pt] \endとなることがわかります。これが、フィボナッチ数列の一般項です。

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